In meiner Abendschule hatten wir im Physikunterricht das Thema der Streckenberechnung einer gleichförmig beschleunigten Bewegung.
Die Formel dafür lautete 1/2*a*t², wobei a die Steigung darstellt.
Die Herleitung besagte, dass der Graph der Geschwindigkeit V ein linearer Graph ist, und die somit die Fläche unter dem Graph die Hälfte des Quadrates at*t ist. Daher das 1/2 in der Formel.
Nebenbei fand ich heraus, dass sich diese Strecke ebenfalls aus Durchschnittsgeschwindigkeit mal Zeit berechnen läßt. Also Vd*t.
Nun fragte ich mich, wie denn nun die Strecke einer Bewegung zu berechnen sei, die nicht gleichförmig beschleunigt wird, sondern deren Beschleunigung mit der Zeit zunimmt, also die Geschwindigkeit z.B. einer quadratischen Funktion v=t² folgt. Mir ist natürlich bekannt, dass man die Fläche unter einem krummen Graphen gewöhnlich mit der Integralrechnung berechnet.
Da mir die Integralrechnung momentan aber im Wesentlichen unbekannt ist, fragte ich mich, ob man es nicht auch bei der Funktion t² eine Zahl geben müßte, welche die Durchschnittsgeschwindigkeit darstellt, die man dann mit der Zeit multiplizieren kann, um die Fläche unter der Randfunktion zu berechnen.
Lange Rede kurzer Sinn: Es gibt für offenbar für jede Potenzfunktion mit x^n und n ist Element von N eine solche Durchschnittszahl oder Durchschnittsgeschwindigkeit.
Sie kann berechnet werden mit:
Vd = (Anfangsgeschwindigkeit + Endgeschwindigkeit) / n+1
für alle f(x)=x^n.
Die Strecke wäre demnach:
S= (V1+V2) *t / (n+1)
Im Prinzip eine Alternative zur Integralrechnung.