Der Durschnittswert einer quadratischen Funktion über ein Intervall

[Frei-denker]

In meiner Abendschule hatten wir im Physikunterricht das Thema der Streckenberechnung einer gleichförmig beschleunigten Bewegung.

Die Formel dafür lautete 1/2*a*t², wobei a die Steigung darstellt.

Die Herleitung besagte, dass der Graph der Geschwindigkeit V ein linearer Graph ist, und die somit die Fläche unter dem Graph die Hälfte des Quadrates at*t ist. Daher das 1/2 in der Formel.

Nebenbei fand ich heraus, dass sich diese Strecke ebenfalls aus Durchschnittsgeschwindigkeit mal Zeit berechnen läßt. Also Vd*t.

Nun fragte ich mich, wie denn nun die Strecke einer Bewegung zu berechnen sei, die nicht gleichförmig beschleunigt wird, sondern deren Beschleunigung mit der Zeit zunimmt, also die Geschwindigkeit z.B. einer quadratischen Funktion v=t² folgt. Mir ist natürlich bekannt, dass man die Fläche unter einem krummen Graphen gewöhnlich mit der Integralrechnung berechnet.

Da mir die Integralrechnung momentan aber im Wesentlichen unbekannt ist, fragte ich mich, ob man es nicht auch bei der Funktion t² eine Zahl geben müßte, welche die Durchschnittsgeschwindigkeit darstellt, die man dann mit der Zeit multiplizieren kann, um die Fläche unter der Randfunktion zu berechnen.

Lange Rede kurzer Sinn: Es gibt für offenbar für jede Potenzfunktion mit x^n und n ist Element von N eine solche Durchschnittszahl oder Durchschnittsgeschwindigkeit.

Sie kann berechnet werden mit:

Vd = (Anfangsgeschwindigkeit + Endgeschwindigkeit) / n+1

für alle f(x)=x^n.


Die Strecke wäre demnach:

S= (V1+V2) *t / (n+1)


Im Prinzip eine Alternative zur Integralrechnung.

[Mcp]

für alle f(x)=x^n.


Die Strecke wäre demnach:

S= (V1+V2) *t / (n+1)


Im Prinzip eine Alternative zur Integralrechnung.

Ihre Ableitung ist "fast" richtig. Die Fläche unter einer Potenzfunktionen der Art f(x)=x^n errechent sich nach folgender Formel:

[Frei-denker]

Sieht so aus, als hättest du recht.

Offenbar muß ich die Formel für Strecke korrigieren und den Faktor t herausnehmen.

Demnach wäre dann die Formel für Strecke:

S= (V1+V2)/ (n+1) für alle f(x)= x^n

Auch die Durchschnittsgeschwindigkeit müßte neu definiert werden.

Danke für den Hinweis. Werde mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen.

[Mcp]

Sieht so aus, als hättest du recht.

Offenbar muß ich die Formel für Strecke korrigieren und den Faktor t herausnehmen.

Demnach wäre dann die Formel für Strecke:

S= (V1+V2)/ (n+1) für alle f(x)= x^n

Auch die Durchschnittsgeschwindigkeit müßte neu definiert werden.

Danke für den Hinweis. Werde mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen.

Warum wollen Sie t weglassen? Ist t vielleicht x^(n+1)? Die Ableitung ihrer erstaunlichen Formel hat mich wirklich beeindruckt.

[tommy3333]

Lange Rede kurzer Sinn: Es gibt für offenbar für jede Potenzfunktion mit x^n und n ist Element von N eine solche Durchschnittszahl oder Durchschnittsgeschwindigkeit.

Sie kann berechnet werden mit:

Vd = (Anfangsgeschwindigkeit + Endgeschwindigkeit) / n+1

für alle f(x)=x^n.

Der Mittelwert einer Funktion ist [Links nur für registrierte Nutzer] definiert.

Für v = a * x^n hieße das

vd = 1/(x2 - x1) * a/(n+1) * (x2^(n+1) - x1^(n+1))

--> vd = 1/(x2 - x1) * 1/(n+1) * (v2*x2 - v1*x1)

Im Falle n=1 kann man anstelle des letzten Schritts auch die binom. Formeln ausnutzen: 1/(x2 - x1) * (x2² - x1²) = x2+ x1

[RDX]

In meiner Abendschule hatten wir im Physikunterricht das Thema der Streckenberechnung einer gleichförmig beschleunigten Bewegung.

Die Formel dafür lautete 1/2*a*t², wobei a die Steigung darstellt.

Die Herleitung besagte, dass der Graph der Geschwindigkeit V ein linearer Graph ist, und die somit die Fläche unter dem Graph die Hälfte des Quadrates at*t ist. Daher das 1/2 in der Formel.

Nebenbei fand ich heraus, dass sich diese Strecke ebenfalls aus Durchschnittsgeschwindigkeit mal Zeit berechnen läßt. Also Vd*t.

Nun fragte ich mich, wie denn nun die Strecke einer Bewegung zu berechnen sei, die nicht gleichförmig beschleunigt wird, sondern deren Beschleunigung mit der Zeit zunimmt, also die Geschwindigkeit z.B. einer quadratischen Funktion v=t² folgt. Mir ist natürlich bekannt, dass man die Fläche unter einem krummen Graphen gewöhnlich mit der Integralrechnung berechnet.

Da mir die Integralrechnung momentan aber im Wesentlichen unbekannt ist, fragte ich mich, ob man es nicht auch bei der Funktion t² eine Zahl geben müßte, welche die Durchschnittsgeschwindigkeit darstellt, die man dann mit der Zeit multiplizieren kann, um die Fläche unter der Randfunktion zu berechnen.

Lange Rede kurzer Sinn: Es gibt für offenbar für jede Potenzfunktion mit x^n und n ist Element von N eine solche Durchschnittszahl oder Durchschnittsgeschwindigkeit.

Sie kann berechnet werden mit:

Vd = (Anfangsgeschwindigkeit + Endgeschwindigkeit) / n+1

für alle f(x)=x^n.


Die Strecke wäre demnach:

S= (V1+V2) *t / (n+1)


Im Prinzip eine Alternative zur Integralrechnung.

Für solche Popelaufgaben brauchst du noch keine Infinitesimalrechnung.

Die kannst du mit reiner Potenzrechnung lösen.

Der Aufgabentyp entpricht dem Typus der
gleichförmig beschleunigten Bewegung -> a= Beschleunigung= const.

Du zeichnest drei Diagramme und kannst nach dem Eintragen der entsprechenden Werte die Gesetzmäßigkeiten (Formeln) sofort bestimmen.

1. s-t-Diagramm s=1/2* a * t^2 + S0

2. V-t-Diagramm V=a*t +V0

3. a-t-Diagramm a=const

Mit den entsprechenden Anfangswerten (V0, t0, S0), lassen sich alle möglichen Arten von Bewegungen, für die a= const gilt , vollkommen bestimmen.

Die Analysis->Vektoranalysis braucht man erst für komplexere Bewegungen, für die a != const gilt.

[politisch Verfolgter]

Weil ich grad den Newton sehe: er hat die geschwindigkeits- und beschleunigungsabhängige Massenänderung ignoriert, obwohl er sie bestimmt hingeschrieben hat, weil sie schon damals formal resultierte. Daß damit zusätzlich eine zeitl. Änderung erfolgt, hätte ihm dann seine Phantasie sagen können, wenn er eine maximal mögliche Geschwindigkeit eingeführt hätte.
Er hat sein Gleichungszeugs nicht konsequent genug in allen Variationsmöglichkeiten durchgespielt, war noch zu mittelalterlich geprägt, hat Randbedingungen ignoriert, statt sie auszuarbeiten - die passten nicht ins Weltbild. Kann allerdings sein, daß er nie auf die Idee kam, die Masse mal nach der Zeit abzuleiten und die rein formalen Konsequenzen durchzugehen.

[RDX]

Weil ich grad den Newton sehe: er hat die geschwindigkeits- und beschleunigungsabhängige Massenänderung ignoriert, obwohl er sie bestimmt hingeschrieben hat, weil sie schon damals formal resultierte. Daß damit zusätzlich eine zeitl. Änderung erfolgt, hätte ihm dann seine Phantasie sagen können, wenn er eine maximal mögliche Geschwindigkeit eingeführt hätte.
Er hat sein Gleichungszeugs nicht konsequent genug in allen Variationsmöglichkeiten durchgespielt, war noch zu mittelalterlich geprägt, hat Randbedingungen ignoriert, statt sie auszuarbeiten - die passten nicht ins Weltbild. Kann allerdings sein, daß er nie auf die Idee kam, die Masse mal nach der Zeit abzuleiten und die rein formalen Konsequenzen durchzugehen.

PV, du solltest nicht den Versuch machen, ein Jahrtausendgenie wie Isaac Newton zu kritisieren.
Die Kritik an einem Genie kann für den Kritiker schnell in einem intellektuellen Desaster enden.

Aber es freut mich, dass du einer der wenigen User bist, die Newton sofort erkannt haben.

Mein letztes Avatar, Nietzsche, kannte jeder, Newton so gut wie niemand.

Das zeichnet ein erschreckendes Bild der naturwissenschaftlichen Bildung der User dieses Forums.

[Rheinlaender]

Mein letztes Avatar, Nietzsche, kannte jeder, Newton so gut wie niemand.

Das zeichnet ein erschreckendes Bild der naturwissenschaftlichen Bildung der User dieses Forums.

... und von dem Wissen ueber Muenzen: Newton entwarf die Guinea und den Sovereign als Goldmuenzen (£1 und £1.1.0 - damals viel Geld) in einer Weise als Master of The Mint, dass man sie bei falscher Legierung am Klang des Hinfalles auf eine harte Flaeche zu erkennen kann, um Faelschung vorzubeugen.

[Praetorianer]

Darf ich mal fragen, was das unter "Wissenschaft" zu suchen hat?